probabilitati

02/05/2011 22:50

Evenimente

1. Proba. Eveniment

Consideram ca aruncam un zar. Este evident o experienta aleatoare* adica o experienta al carei rezultat variaza la întâmplare.
* Cuvantul aleator provine de la latinescul alea, care inseamna zar.
Daca notam cu {1} aparitia fetei cu un singur punct, cu {2} aparitia fetei cu doua puncte etc. in urma unei aruncari cu zarul avem unul din rezultatele

{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

Acestea sunt singurele rezultate posibile si unul dintre ele se produce neaparat. Acestea sunt probele experientei.
Rezultatul unei experiente aleatoare se numeste proba.

Evenimentul care poate fi realizat de o proba si numai de una se numeste eveniment elementar.
Celelalte evenimente se numesc compuse.

 

 

2. Eveniment sigur. Eveniment imposibil

Fiecarei experiente i se ataseaza doua evenimente cu caracter special: evenimentul sigur si evenimentul imposibil.
Evenimentul sigur este un eveniment sigur care se realizeaza cu certitudine la fiecare efectuare a experientei.
De exemplu, la aruncarea unui zar, aparitia uneia din fetele 1, 2, 3, 4, 5, 6 este evenimentul sigur al experientei.

Evenimentul imposibil nu se realizeaza la nici-o efectuare a experientei.
De exemplu, la aruncarea unui zar, aparitia altei fete decât fetele 1, 2, 3, 4, 5, 6 este un eveniment imposibil. Sau extragerea unei bile albe dintr-o urna care contine numai bile negre.

3. Operatii cu evenimente

Fiind date doua evenimente A si B, se numeste reuniunea lor si se noteaza prin A U B, evenimentul a carui realizare consta in realizarea a cel putin unuia din cele doua evenimente. Se mai citeste "A sau B".

La aruncarea zarului consideram evenimentele

A = {1, 2, 3} si B = {2, 3, 6}

Evenimentul A se realizeaza daca se realizeaza unul din evenimentele {1}, {2}, {3}, iar evenimentul B se realizeaza daca se realizeaza unul din evenimentele {2}, {3} sau {6}. Deci, pentru a realiza cel putin unul din evenimentele A, B trebuie sa obtinem una din probele {1}, {2}, {3}, {6} si avem

A U B = {1, 2, 3, 6}

Intersectia evenimentelor A si B este evenimentul A B a carui realizare consta in realizarea simultana a evenimentelor A,B. Putem citi A si B in loc de A intersectat cu B. In cazul de mai sus avem

A B = {2, 3}

Multimea tuturor evenimentelor legate de o experienta (inclusiv evenimentul sigur si evenimentul imposibil) formeaza un camp de evenimente.

Probabilitate

1. Frecventa

Daca repetam o experienta de n ori in conditii identice, si obtinem de a ori evenimentul A, atunci numarul

f_n=a/n

poarta numele de frecventa.
Numarul a poate varia de la 0 la n inclusiv.

Evenimente egal posibile. Fie A si B doua evenimente referitoare la aceeasi experienta. Daca din motive de perfecta simetrie, putem afirma ca ambele evenimente au aceeasi sansa de a fi realizate, spunem ca evenimentele sunt egal posibile.

2. Probabilitate

Definitie. Pobabilitatea unui eveniment este egala cu raportul dintre numarul cazurilor egal posibile care realizeaza evenimentul si numarul cazurilor egal posibile.

Asadar, vom spune ca probabilitatea evenimentului A este egala cu raportul dintre numarul m al cazurilor favorabile realizarii evenimentului A si numarul n al cazurilor egal posibile. Vom scrie

Exemplu. Avem o urna care contine 20 de bile numerotate cu 1, 2, 3, ... , 19, 20. Care este probabilitatea ca printr-o extractie sa obtinem o bila numerotata cu un nr. mai mic decât 6?
Notam cu A evenimentul caruia dorim sa-i calculam probabilitatea. Numarul cazurilor egal posibile este 20. Numarul cazurilor favorabile realizarii evenimentului A este 5. Aceste cazuri sunt: extragerea bilei 1, extragerea bilei 2, extragerea bilei 3, extragerea bilei 4 sau extragerea bilei 5. Atunci avem

Proprietati ale probabilitatilor

Probabilitatea unui eveniment A, pe care o notam prin P(A), are urmatoarele proprietati:

Regula de adunare a probabilitatilor

Fie A si B doua evenimente incompatibile intre ele avand respectiv probabilitatile p si q. Probabilitatea ca să se întâmple cel puţin unul dintre ele este p + q.

Evenimente independente

Fie A şi B două evenimente. Dacă

evenimentele A si B sunt, prin definitie, independente.

Exemplu. Consideram ca avem două zaruri: unul roşu si celalalt albastru.Fie A evenimentul ca zarul roşu să apară cu faţa 1 şi celălalt cu faţa 4. Sunt evenimentele A si B independente?

Evenimentele elementare sunt (j, k ) , (j =1, 2, 3, 4, 5, 6; k =1, 2, 3, 4, 5, 6), unde j sunt nr. de puncte de pe faţa zarului roşu, iar k de pe faţa zarului albastru. Toate aceste evenimente sunt egal posibile.
Deci, avem 36 de cazuri posibile.
Avem un singur caz posibil pentru A B, adica (1,4). Deci

=1/36.

Pentru A avem 6 cazuri posibile (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6). Deci P(A) = 6/36 = 1/6.
Pentru B avem 6 cazuri favorabile: (1,5), (2,5), .... Deci P(B) = 6/36 = 1/6.

Relatia este indeplinită. Atunci evenimentele A si B sunt independente.

Câmp de probabilitate

Mulţimea tuturor evenimentelor legate de o experienţă împreună cu probabilităţile respective formeaya un câmp de probabilitate.

Probabilităţile calculate se referă la evenimente legate de experienţe având un număr finit de cazuri posibile(evenimente elementare).

Formule pentru calcularea unor probabilităţi

1.

2.

Scheme clasice de probabilitate

1.Schema lui Poisson

Se dau n urne U₁, U₂, U₃, ..., U_n care contin bile albe si negre in proportii date. Cunoastem, deci, probabilităţile p_i (i=1, 2, ..., n) cu care este extrasa o bila albă din urna Ui. Se cere probabilitatea de a extrage k bile albe si n-k bile negre, atunci cand din fiecare urna se extrage cate o bilă.

Probabilitatea căutată va fi coeficientul lui x^k in polinomul

2. Schema lui Bernoulli

In schema lui Poisson peresupunem ca avem urnele identice. Atunci putem lua p₁ = p₂ = ... p_n = p si q₁ = q₂ = ... q_n = q = 1 - p .

In acest caz, probabilitatea extragerii a k bile albe, va fi coeficientul lui x^k din polinomul

,

adica va fi egala cu

.